Ֆունկցիա – «Մխիթար սեբաստացի» կրթահամալիր քոլեջ1-3 կուրս

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Ֆունկցիան մաթեմատիկայում, երկու բազմությունների տարրերի միջև համապատասխանության կանոն է, ըստ որի առաջինի յուրաքանչյուր տարր համապատասխանում է երկրորդ բազմության մեկ և միայն մեկ տարրին։ Հաճախ «ֆունկցիա» տերմինը հասկացվում է որպես թվային ֆունկցիա, այսինքն՝ ֆունկցիա, որը մի թվին համապատասխանեցնում է մյուսին։ Այս ֆունկցիաները հարմար է ներկայացնել գրաֆիկների տեսքով։

Ֆունկցիա սահմանելու եղանակներ

Վերլուծական մեթոդ

Ֆունկցիան կարելի է սամանել՝ օգտագործելով վերլուծական արտահայտություն (օրինակ՝ բանաձև)։ Այս դեպքում այն նշվում է որպես համապատասխանություն հավասարության տեսքով։

Օրինակներ․

Ֆունկցիա, որը տրվում է մեկ բանաձևով․

{\displaystyle f(x)=x^{2}+a\sin(x)-{\frac {\pi }{\ln(x)}}\;\;(a\in \mathbb {R} );}

Մասամբ տրված ֆունկցիա․

Անուղղակիորեն սահմանված ֆունկցիա․

{\displaystyle f(x)=y:x^{2}+y^{2}=R^{2}\;(R\in \mathbb {R} ,\;R\geqslant 0);}

Գրաֆիկական եղանակ

գրաֆիկը

Ֆունկցիան կարող է սահմանվել նաև գրաֆիկի միջոցով։ Եթե $y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;$ – n փոփոխականով իրական ֆունկցիա,ապա նրա գրաֆիկը կետերի բազմություն է (n+1)} $(n+1)$ -աչափ միջակայքում \ $\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\}$ ։ Այս կետերի բազմությունը հաճախ հիպերմակերևույթ է։ Մասնավորապես, երբ $n=1$ ֆունկցիայի գրաֆիկը որոշ դեպքերում կարող է ներկայացվել երկչափ տարածության կորով։

Արժեքների թվարկում

Վերջավոր բազմության վրա ֆունկցիան կարող է սահմանվել արժեքների աղյուսակով՝ ուղղակիորեն նշելով դրա արժեքները սահմանման տիրույթի յուրաքանչյուր տարրի համար։Այս մեթոդը օգտագործվում է, օրինակ, Բուլյան ֆունկցիաները սահմանելու համար։ Փաստորեն, այս մեթոդը նաև ֆունկցիայի գրաֆիկի սահմանումն է, եթե ֆունկցիայի գրաֆիկը $f\colon A\to B$ դիտարկենք որպես ձևի կարգավորված զույգերի բազմություն $(x,f(x))$

Բիեկցիա

Ֆունկցիան, որը միևնույն ժամանակ սուբեկտիվ և օբեկտիվ է, կոչվում է բիեկտիվ կամ փոխադարձ միանշանակ (կարճ՝ բիեկցիա)։

Հակադարձ ֆունկցիա

Եթե $f\colon X\to Y$ ֆունկցիան բիեկցիա է, ապա գոյություն ունի $f^{-1}\colon Y\to X$ , որի համար $x=f^{-1}(y)\;\Leftrightarrow y=f(x)$ ։

{-1}} $f^{-1}$ ֆունկցիան այս դեպքում կոչվում է հակադարձ $f$ -ի նկատմամբ, բացի այդ, $f^{-1}$ նույնպես բիեկտիվ ֆունկցիա է։

Պարբերականություն

$f\colon M\to N$ ֆունկցիան կոչվում է պարբերական պարբերույթով, եթե ճիշտ է հետևյալ հավասարությունը․ $f(x+T)=f(x),\quad \forall x,x+T\in M$ .

Քանի որ $T$ պարբերույթով պարբերական ֆունկցիան պարբերական է նաև $nT\;(n\in \mathbb {N} )$ տիպի պարբերույթներով, ապա $T$ -ն ֆունկցիայի նվազագույն պարբերույթն է։

Ֆունկցիաները բազմությունների տեսության մեջ

Կախված նրանից, թե ինչպիսին է առաջադրման ոլորտի և նշանակումների տարածության բնույթը, տարբերակում են ոլորտների հետևյալ դեպքերը.

վերացական բազմություններ, որոնք առանց որևէ լրացուցիչ կառուցվածքի բազմություններն են,
բազմություններ, որենք օժտված է որոշակի կառուցվածքով։

1-ի դեպքում դիտարկվում են ընդհանուր ձևով արտապատկերումները և լուծվում են ամենատարածված հարցերը, օրինակ՝ բազմությունների համեմատումն ըստ հզորության․ եթե երկու բազմությունների միջև առկա է փոխմիարժեք արտապատկերում (բիեկցիա), ապա այդ բազմությունները կոչվում են էկվիվալենտ կամ համարժեք։ Սա թույլ է տալիս դասակարգել բազմությունները ըստ իրենց հզորության, և դրանցից ամենափոքրը, ըստ մեծացման, հետևյալն են.

վերջավոր բազմություններ, այստեղ բազմության հզորությունը համընկնում է տարրերի քանակի հետ,
հաշվելի բազմություններ, բնական թվերի բազմությանը համարժեք բազմություններ,
կոնտինուումի հզորության բազմություններ (օրինակ, թվային առանցքի հատվածը կամ թվային առանցքը)։

Այսպիսով, ստացվում են արտապատկերումների հետևյալ տեսակները՝ ըստ սահմանման տիրույթի հզորության.

վերջավոր ֆունկցիաներ՝ վերջավոր բազմությունների արտապատկերում,
հաջորդականություններ՝ հաշվելի բազմության արտապատկերում կամայական բազմության մեջ,
շարունակական ֆունկցիաներ՝ անհաշվելի բազմությունների արտապատկերումը վերջավոր , հաշվելի կամ անհաշվելի բազմությունների մեջ։

2-րդ դեպքում դիտարկման հիմնական առարկան բազմության մեջ տրված կառուցվածքն է (որտեղ բազմության տարրերն օժտված են որոշ լրացուցիչ հատկություններով, որոնք կապում են այդ տարրերը, օրինակ՝ խմբերում, օղակներում, վեկտորական տարածություններում) և այն, ինչ տեղի է ունենում այդ կառուցվածքի հետ արտապատկերման ժամանակ. եթե փոխմիարժեք արտապատկերման դեպքում պահպանվում են տվյալ կառուցվածքի հատկությունները, ապա ասում են, որ երկու կառուցվածքների միջև հաստատվում է իզոմորֆություն։ Այսպիսով, տարբեր բազմությունների մեջ տրված իզոմորֆ կառուցվածքները, ընդհանուր առմամբ, հնարավոր չէ տարբերվել, հետևաբար մաթեմատիկայում ընդունված է ասել, որ տվյալ կառուցվածքը դիտարկվում է «մինչև իզոմորֆիզմի ճշգրտությամբ»։

Գոյություն ունեն բազմաթիվ տարբեր կառուցվածքներ, որոնք կարելի է սահմանել բազմությունների մեջ։ Դրանց թվում են.

կարգի կառուցվածք – բազմության տարրերի մասնակի կամ գծային կարգը,
հանրահաշվական կառուցվածք – խմբոիդ, կիսախումբ, խումբ, օղակ, մարմին, ամբողջականության ոլորտ կամ դաշտ, որը սահմանված է բազմության տարրերի վրա,
մետրիկական տարածության կառուցվածք – բազմության տարրերի համար որոշվում է տարածության ֆունկցիան,
Էվկլիդեսյան տարածության կառուցվածք – բազմության տարրերի համար որոշվում է սկալյար արտադրյալը,
Տոպոլոգիական տարածության կառուցվածք – բազմության վրա տրվում է «բաց բազմությունների» ամբողջություն (որոնք չեն պարունակում իրենց սահմանը),
չափելի տարածության կառուցվածք – բազմության վրա տրվում է սկզբնական բազմության ենթաբազմությունների սիգմա հանրահաշիվը (օրինակ՝ տվյալ սիգմա հանրահաշիվը որպես ֆունկցիայի որոշման տիրույթ նշելով)։

Որոշակի հատկություն ունեցող ֆունկցիաներ կարող են չլինել այն բազմությունների վրա, որոնք չունեն համապատասխան կառուցվածք։ Օրինակ, այնպիսի հատկություն ձևակերպելու համար, ինչպիսին է բազմության վրա սահմանված անընդհատ ֆունկցիան, այդ բազմության վրա անհրաժեշտ է սահմանել տոպոլոգիական կառուցվածք։

Վերլուծական մեթոդ

Leave a Reply Cancel reply